ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

                    ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้

                      ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง

โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์ แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เป็นทรงตัน n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความยากจะเข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยมมากมายทั้งในวรรณกรรม ละคร ละครเพลง เพลง สแตมป์และการ์ตูน

ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น หาก c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาวของอีกสองด้านที่เหลือแล้ว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการพีทาโกรัสได้ดังนี้

ถ้าทราบความยาวของทั้ง a และ b ค่า c จะสามารถคำนวณได้ดังนี้

ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก c และด้านประชิดมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง (a หรือ b) แล้ว ความยาวด้านที่เหลือสามารถคำนวณได้ดังนี้

หรือ

                              

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถกล่าวโดยสรุปได้เป็นกฎของโคซายน์ ซึ่งเมื่อให้ความยาวของด้านทั้งสองและขนาดของมุมระหว่างด้านนั้นมา จะสามารถคำนวณหาความยาวด้านที่สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ ถ้ามุมระหว่างด้านเป็นมุมฉาก กฎของโคซายน์จะย่อลงเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

 ที่มา http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B9%82%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%AA  17 กันยายน 2556

รูปทรงของ ทรงกระบอก

ทรงกระบอก

    

                  ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า ทรงกระบอก ดังนี้

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยุ่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกันฐานเสมอ เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า ทรงกระบอก

       

           

                

                  สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวกับทรงกระบอก
                             ปริมาตรทรงกระบอก = (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลัง 2 X สูงตรง
                พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2(22/7 หรือ 3.14) X รัศมี X สูงตรง + 2(22/7 หรือ 3.14) X รัศมี                                                                      ยกกำลัง 2

                         ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติใด ๆ ที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับหน้าตัด และอยู่ในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้รอยตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ

 ที่มา   http://www.thaigoodview.com/library/contest2553/type1/math03/09/site/page028.html  17 กันยายน  2556

                                             

พื้นที่ผิวและปริมาตรทรงกลม

 ทรงกลม

           ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า ทรงกลม ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดจุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกว่า ทรงกลม
จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม
ระยะที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม

               สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวข้องกับทรงกลม  

                               ปริมาตรของทรงกลม = 4/3 X (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลัง 3
                                พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 X (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลัง 2

ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน   เรียกว่า ทรงกลม เราเรียกจุดคงที่นั้นว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลมและระยะทางที่เท่ากันนั้นเรียกว่า  รัศมีของทรงกลม

ที่มา http://www.kr.ac.th/ebook2/warisara/03.html 17 กันยายน 2556

https://www.google.co.th/#q=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A1&revid=991029784  17 กันยายน 2556

ปริซึม

ปริซึม

   ปริซึม (อังกฤษ: prism) คือทรงหลายหน้าที่สร้างจากฐานรูปหลายเหลี่ยมที่เหมือนกันและขนานกันสองหน้า และหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่หน้าตัดทุกตำแหน่งที่ขนานกับฐานจะเป็นรูปเดิมตลอด และปริซึมก็เป็นพริสมาทอยด์ (prismatoid) ชนิดหนึ่งด้วย

    ปริซึมมุมฉาก (right prism) หมายความว่าเป็นปริซึมที่มีจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมบนฐานทั้งสองอยู่ตรงกันตามแนวดิ่ง ทำให้หน้าด้านข้างตั้งฉากกับฐานพอดีและเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทุกด้าน ส่วน ปริซึม n เหลี่ยมปรกติ (n-prism) หมายถึงปริซึมที่มีรูปหลายเหลี่ยมบนฐาน เป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติ (ทุกด้านยาวเท่ากัน) และเมื่อปริซึมอันหนึ่งๆ สามารถเป็นได้ทั้งปริซึมมุมฉาก ปริซึม n เหลี่ยมปรกติ และขอบทุกด้านยาวเท่ากันหมด จะถือว่าปริซึมอันนั้นเป็นทรงหลายหน้ากึ่งปรกติ (semiregular polyhedron)

ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ถือเป็นปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนาน สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากก็เทียบเท่ากับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก และปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือทรงลูกบาศก์นั่นเอง

ปริมาตรของปริซึมสามารถคำนวณได้ง่ายๆ โดยการหาพื้นที่ผิวของฐานมาหนึ่งด้าน คูณด้วยความสูงของปริซึม

   ปริซึม คือ ทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งคู่อยู่ในระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็น

สูตร              พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ผิวหน้าตัด 
                      ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

Ex.2 ปริซึมฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีด้านยาว ยาวด้านละ 4 นิ้ว สูง 8 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวของปรึซึม

วิธีทำ เนื่องจากฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า

                                            ดังนั้น เส้นรอบรูป = 4 × 6

                                                                 = 24 นิ้ว

                                        พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวรอบฐาน × สูง

                                                                 = 24 × 8

                                                                 = 192 ตารางนิ้ว

                          (สูตรพื้นที่หกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = ^3√3/₂ × ด้าน²)

                        พื้นที่ฐานรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าุมุมเท่า = ^3√3/₂ × 4²

                                                                 = 24√3 ตารางนิ้ว

                                           พื้นที่ผิวของปริซึมนี้ = พื้นที่ผิวข้าง + 2×(พื้นที่ฐาน)

                                                                 = 192 + 2(24√3)

                                                                 = 192 + 48√3

                           ตอบ 192 + 48√3 ตารางนิ้ว

Ex.3 จงหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูนี้

วิธีทำ สูตร พื้นที่ฐานปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู = 1/2 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง
                                               = 1/2 × (7 + 13) × 9
                                               = 90 ตารางหน่วย

                         สูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง
                                               = 90 × 24
                                               = 2,160 ลูกบาศก์หน่วย

ตอบ 2,160 ลูกบาศก์หน่วย

ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/46868 17 กันยายน 2556

       http://www.thaigoodview.com/node/46868?page=0%2C6  17 กันยายน 2556

พีระมิด ในชีวิตเรา

พีระมิด  ในชีวิตประจำวัน

    

               ในทางคณิตศาสตร์ ให้ความหมายคำว่า พีระมิด ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น เรียกว่า พีระมิด

       สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวกับพีระมิด
                                              พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1/2 X ความยาวรอบฐาน X สูงเอียง
                                                   = พื้นที่ของหน้าทุกหน้ารวมกัน
                                                     พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด X พื้นที่ฐานของพีระมิด

พีระมิด 

    พีระมิด คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลม ซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกับฐานและหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม
ที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลม 

               ลักษณะของพีระมิดตรง 
          1. หน้าของพีระมิดตรงเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และเท่ากันทุกรูป
          2. สันของพีระมิดตรงจะยาวเท่ากันทุกเส้น
          3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรงด้านเท่า มุมเท่า จะยาวเท่ากันทุกเส้น
          4. ปริมาตรของพีระมิด เป็นหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเท่ากันกับพีระมิดและมีส่วนสูงเท่ากับพีระมิด 

ที่มา  http://www.thaigoodview.com/library/contest2553/type1/math03/09/site/page021.html 17 กันยายน 2556